2013-2014 навчальний рік
Застосування методу крайнього на прикладах олімпіадних задач. Застосуйте вказаний метод при розгляді задач для самостійного розв'язування.
Задача. Чоловік підійшов до клітки, в якій сиділи фазани й кролі. Спочатку він порахував голови – їх виявилось 15. Потім він порахував лапи – їх було 42. Скільки кролів і скільки фазанів було в клітці?
Розв’язання. Якби в клітці були тільки фазани, то їх було б 42 : 2 = 21. Заміна двох фазанів на одного кроля не змінює кількості лап, але зменшує кількість голів на одну. Кількість голів треба зменшити на 21 – 15 = 6. Отже, в клітку замість 6 • 2 = 12 (фазанів) треба помістити 6 кролів. Після цього в клітці залишиться 15 – 6 = 9 (фазанів). Відповідь: В клітці було 9 фазанів і 6 кролів.
Можна розв’язати цю задачу, почавши з іншого боку. Якби в клітці було 15 кролів, то чоловік нарахував би 15 • 4 = 60 (лап). Це на 60 – 42 = 18 (лап) більше, ніж насправді. Отже, треба замінити 18 : 2 = 9 кролів на 9 фазанів (ділимо на 2, бо кожна заміна кроля на фазана зменшує кількість лап на дві). Після такої заміни в клітці залишиться 15 – 9 = 6 кролів.
Задачі для самостійного розв’язання.
1. Закупили 138 м чорної і синьої тканини на 540 грн. Скільки метрів закупили однієї і скільки іншої тканини, якщо один метр синьої коштував 5 грн., один метр чорної – 3 грн.?
2. На лузі паслися 90 телят і гусей. Всього в них було 256 ніг. Скільки було телят і скільки було гусей?
3. У стоквартирному будинку є тільки три- і двокімнатні квартири. Площа трикімнатної квартири 80 м², а двокімнатної – 50 м². Скільки квартир кожного виду в будинку, якщо їх загальна площа 6890 м²?
4. Для туристів закуплено 100 білетів на поїзд на загальну суму 340 грн. Білети вартістю по 3 грн. і по 4 грн. Скільки закуплено білетів по 3 грн. і скільки по 4 грн.?
5. В установі стоїть 14 канцелярських столів з одною, двома і трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з одною шухлядою стільки, скільки столів з двома і трьома шухлядами разом. Скільки столів з трьома шухлядами?
Для перевірки можете подивитися розв'язання цих задач.
Заняття 2. Розвязування задач з кінця (5 клас)
Задача. В двох кімнатах було 52 чоловіка. Після того, як з першої кімнати 5 чоловік перейшли в другу кімнату, а 2 чоловіка вийшли взагалі, то в обох кімнатах людей стало порівну. Скільки чоловік було в кожній кімнаті спочатку?
Розв’язання. Після того, як 2 чоловіка вийшли взагалі, в обох кімнатах залишилося 52–2=50 (чол.). Оскільки в обох кімнатах людей стало порівну, то 50:2=25 (чол.) було в кожній кімнаті в кінці. 25–5=20 (чол.) було в другій кімнаті спочатку, а 25+5+2=30 (чол.) було в першій кімнаті спочатку. Відповідь: 32 чол., 20 чол..
Задача. В коробці лежали лимони. Спочатку з неї взяли половину всіх лимонів і ще півлимона, потім половину залишку і ще півлимона, нарешті половину нового залишку і ще півлимона. Після цього в коробці залишився 31 лимон. Скільки лимонів було в коробці спочатку?
Розв’язання. 31 лимон – це половина останнього залишку без півлимона. Отже, останній залишок дорівнює 31•2+1=63 (лимони). Перший залишок становить 63•2+1=127 (лимонів). Спочатку було 127•2+1=255 (лимонів). Відповідь: 255 лимонів.
Розв’язання. Після того, як 2 чоловіка вийшли взагалі, в обох кімнатах залишилося 52–2=50 (чол.). Оскільки в обох кімнатах людей стало порівну, то 50:2=25 (чол.) було в кожній кімнаті в кінці. 25–5=20 (чол.) було в другій кімнаті спочатку, а 25+5+2=30 (чол.) було в першій кімнаті спочатку. Відповідь: 32 чол., 20 чол..
Задача. В коробці лежали лимони. Спочатку з неї взяли половину всіх лимонів і ще півлимона, потім половину залишку і ще півлимона, нарешті половину нового залишку і ще півлимона. Після цього в коробці залишився 31 лимон. Скільки лимонів було в коробці спочатку?
Розв’язання. 31 лимон – це половина останнього залишку без півлимона. Отже, останній залишок дорівнює 31•2+1=63 (лимони). Перший залишок становить 63•2+1=127 (лимонів). Спочатку було 127•2+1=255 (лимонів). Відповідь: 255 лимонів.
Задачі для самостійного розв’язання.
6. В класній кімнаті було кілька учнів. Після того, як 7 учнів вийшли і 9 учнів ввійшли в кімнату, їх стало 31 чоловік. Скільки учнів було в кожній кімнаті спочатку?
7. В коробці лежали сірники. Їх кількість подвоїли, а потім забрали 8 сірників. Остачу подвоїли ізнову забрали 8 сірників. Коли таку операцію повторили третій раз, в коробці не залишилося жодного сірника. Скільки сірників було в коробці спочатку?
8. Коло мосту через річку зустрілися ледар і чорт. Ледар поскаржився на свою бідність. У відповідь чорт запропонував: ”Я можу тобі допомогти. Кожного разу, коли ти перейдеш цей міст, грошей у тебе збільшиться в 2 рази. Але після кожного переходу ти маєш віддати мені 24 копійки.” Три рази ледар перейшов через міст, а коли заглянув у свій гаманець, він виявився порожнім. Скільки грошей було в ледаря спочатку?
9. З ринку поверталися дві селянки. Одна з них спитала іншу: „Що ти продавала?”. Відповідь була така: „Я продавала дині, і вийшло так, що першому покупцю я продала половину всіх динь і ще півдині, другому – половину решти динь і ще півдині. Третьому покупцю я продала також половину того, що залишилося після другого покупця, і ще півдині. Більше динь в мене не залишилося”. Скільки ж динь продала ця селянка?
10. Мати для трьох синів залишила вранці тарілку слив, а сама пішла на роботу. Першим прокинувся старший син. Побачивши на столі сливи, він з’їв їх третю частину й пішов. Другим прокинувся середній син. Думаючи, що його брати ще сплять, він з'їв третину того, що було на тарілці, й теж пішов. Найпізніше встав молодший син. Побачивши сливи він вирішив, що брати ще не їли їх, і тому з’їв лише третину того, що було на тарілці. Після цього залишилося 8 слив. Скільки всього слив було спочатку?
Задача. Жильці Трійкіна, П’ятіркіна, й Безпаливний вирішили зварити обід. Трійкіна поклала у спільну плиту 3 поліна, П’ятіркіна – 5 полін, а Безпаливний на відшкодування витрат заплатив сусідкам 40 копійок. Як вони мають поділити між собою ці гроші?
Розв’язання. Безпаливний заплатив третину вартості палива, тобто, 40 копійок становлять третину вартості восьми полін. Отже, 40•3=120 (копійок) коштують 8 полін. 120:8=15 (копійок) коштує одне поліно. Трійкіна внесла палива на 3•15=45 (копійок). Їй треба повернути 45-40=5 (копійок). П'ятіркіна внесла палива на 5•15=75 (копійок). Їй треба повернути 75–40=35 (копійок). Відповідь: 5 к. і 35 к..
Розв’язання. Безпаливний заплатив третину вартості палива, тобто, 40 копійок становлять третину вартості восьми полін. Отже, 40•3=120 (копійок) коштують 8 полін. 120:8=15 (копійок) коштує одне поліно. Трійкіна внесла палива на 3•15=45 (копійок). Їй треба повернути 45-40=5 (копійок). П'ятіркіна внесла палива на 5•15=75 (копійок). Їй треба повернути 75–40=35 (копійок). Відповідь: 5 к. і 35 к..
Задачі для самостійного розв’язання.
11. Після роботи чоловік сів у таксі, щоб поїхати додому. Коли він проїхав половину шляху, у таксі підсів його сусід, який також повертався додому. Коли вони приїхали, лічильник показував 8 грн.. Скільки гривень має заплатити кожен пасажир?
12. Олег і Микола купили чіпси: за пакет масою 27 г Олег заплатив 1 грн. і 8 копійок, а Микола за пакет масою 18 г заплатив 90 к.. Кожен з них поділився чіпсами зі своїм другом Володею і вийшло, що всі троє з’їли однакову кількість (за масою) чіпсів. Скільки грошей Володя має віддати кожному з хлопців?
13. Терещенко й Павлюк – співвласники фірми. Терещенку належать акції фірми на суму 34 тисячі гривень, а Павлюку – 56 тисяч гривень. Вони вирішили частину акцій продати Якименку, так щоб кожний володів рівно третиною фірми. Скільки гривень Якименко має заплатити Терещенку і скільки - Павлюку, щоб кожен володів третьою частиною акцій?
14. Андрій з Віктором організували платну бібліотеку: Андрій приніс 48 книг по 6 грн. кожна, а Віктор – 27 книг по 8 грн. кожна. До них вирішив приєднатися Сергій, але книг для бібліотеки в нього не було, тому він вніс свою частину грошима. Скільки гривень Сергій заплатив Андрію і скільки - Віктору, щоб усі троє стали рівноправними власниками бібліотеки?
15. Максим, Руслан і Володя вирішили до Нового Року прибрати в класі ялинку. Максим приніс 25 ялинкових прикрас, Руслан 35 прикрас, а Володя приніс ялинку за 21 грн.. Підрахувавши вклад кожного, хлопці прийшли до висновку, що Володя і Максим винні Руслану гроші. Володя розрахувався, віддавши Руслану 2 грн.. Скільки грошей має віддати Руслану Максим, щоб вклад кожного був однаковим?
12. Олег і Микола купили чіпси: за пакет масою 27 г Олег заплатив 1 грн. і 8 копійок, а Микола за пакет масою 18 г заплатив 90 к.. Кожен з них поділився чіпсами зі своїм другом Володею і вийшло, що всі троє з’їли однакову кількість (за масою) чіпсів. Скільки грошей Володя має віддати кожному з хлопців?
13. Терещенко й Павлюк – співвласники фірми. Терещенку належать акції фірми на суму 34 тисячі гривень, а Павлюку – 56 тисяч гривень. Вони вирішили частину акцій продати Якименку, так щоб кожний володів рівно третиною фірми. Скільки гривень Якименко має заплатити Терещенку і скільки - Павлюку, щоб кожен володів третьою частиною акцій?
14. Андрій з Віктором організували платну бібліотеку: Андрій приніс 48 книг по 6 грн. кожна, а Віктор – 27 книг по 8 грн. кожна. До них вирішив приєднатися Сергій, але книг для бібліотеки в нього не було, тому він вніс свою частину грошима. Скільки гривень Сергій заплатив Андрію і скільки - Віктору, щоб усі троє стали рівноправними власниками бібліотеки?
15. Максим, Руслан і Володя вирішили до Нового Року прибрати в класі ялинку. Максим приніс 25 ялинкових прикрас, Руслан 35 прикрас, а Володя приніс ялинку за 21 грн.. Підрахувавши вклад кожного, хлопці прийшли до висновку, що Володя і Максим винні Руслану гроші. Володя розрахувався, віддавши Руслану 2 грн.. Скільки грошей має віддати Руслану Максим, щоб вклад кожного був однаковим?
Заняття 4. Задачі на зважування (5 клас)
Задачі на зважування різко відрізняються від звичайних шкільних задач, які ви звикли розв’язувати на уроці. Щоб розв’язати таку задачу, необхідно уявити відповідну ситуацію і проаналізувати всі можливі варіанти. Розв’язати таку задачу – означає описати певні дії і зроблені з них висновки.
В задачах на зважування часто йде мова про терези без гир. Ними можна порівнювати предмети (важчий, легший, однакові) але не можна виміряти точну їх вагу. Розглянемо кілька таких задач.
Задача А. На одній шальці терезів лежить цеглина, а на другій – половина такої самої цеглини і ще дві гирі: 1 кг і 500 г. Терези зрівноважені. Знайди масу цеглини.
Розв’язання. Якщо з обох шальок терезів зняти по половині цеглини, вони залишаться зрівноваженими. Тоді гирі 1 кг і 500 г врівноважують другу половину цеглини. Отже, вся цеглина важить в 2 рази більше, тобто 3 кг.
Задача Б. Серед трьох монет одна фальшива (легша від двох інших, однакових за масою). За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.
Розв’язання. Одну монету покладемо на одну шальку терезів, а другу – на іншу шальку. Якщо вони зрівноважаться, то третя монета – фальшива. Якщо не зрівноважаться, то фальшива монета лежить на тій шальці, яка піднялася догори.
В задачах на зважування часто йде мова про терези без гир. Ними можна порівнювати предмети (важчий, легший, однакові) але не можна виміряти точну їх вагу. Розглянемо кілька таких задач.
Задача А. На одній шальці терезів лежить цеглина, а на другій – половина такої самої цеглини і ще дві гирі: 1 кг і 500 г. Терези зрівноважені. Знайди масу цеглини.
Розв’язання. Якщо з обох шальок терезів зняти по половині цеглини, вони залишаться зрівноваженими. Тоді гирі 1 кг і 500 г врівноважують другу половину цеглини. Отже, вся цеглина важить в 2 рази більше, тобто 3 кг.
Задача Б. Серед трьох монет одна фальшива (легша від двох інших, однакових за масою). За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.
Розв’язання. Одну монету покладемо на одну шальку терезів, а другу – на іншу шальку. Якщо вони зрівноважаться, то третя монета – фальшива. Якщо не зрівноважаться, то фальшива монета лежить на тій шальці, яка піднялася догори.
Задачі для самостійного розв’язання.
16. У пакеті 9 кг крупів, За допомогою терезів з гирями 50 г і 200 г треба розкласти ці крупи у два пакети: в один – 2 кг, в другий – 5 кг. Спробуйте це зробити за три зважування. Знайдіть два способи розв’язання цієї задачі.
17. У пакеті 3 кг 600 г крупів. Є шалькові терези і гиря 200 г. Як поділити крупи на три пакети: 800 г, 800 г і 2 кг – за допомогою трьох зважувань?
18. З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.
19. Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5 г?
20. Є 9 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Як за допомогою трьох зважувань на терезах без гир виділити фальшиву монету?
Розв'язання
17. У пакеті 3 кг 600 г крупів. Є шалькові терези і гиря 200 г. Як поділити крупи на три пакети: 800 г, 800 г і 2 кг – за допомогою трьох зважувань?
18. З дев’яти однакових на вигляд монет виділити одну фальшиву (важчу за справжні) за два зважування.
19. Є 5 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Маса справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна визначити фальшиву монету, маючи одну гирю масою 5 г?
20. Є 9 монет, серед яких одна фальшива (невідомо, легша вона чи важча від справжньої). Як за допомогою трьох зважувань на терезах без гир виділити фальшиву монету?
Розв'язання
Задача. Кілька кружечків однакового розміру розклали і вигляді квадрата. При цьому п’ять кружечків виявилися зайвими. Якщо кожну сторону квадрата збільшити на один кружечок, то не вистачить 8 кружечків. Скільки було кружечків?
Розв’язання. При збільшенні кожної сторони квадрата на один кружечок, їх кількість збільшиться на 5 + 8 = 13. Це кількість кружечків у двох сторонах квадрата, причому кутовий кружечок врахований двічі. Тому сторона меншого квадрата дорівнює (13 – 1) : 2 = 6 (кружечків). Тоді менший квадрат складається з 6 • 6 = 36 (кружечків). Оскільки при складанні 5 кружечків були зайвими, то всього було 36+5=41 (кружечок).
Розв’язання. При збільшенні кожної сторони квадрата на один кружечок, їх кількість збільшиться на 5 + 8 = 13. Це кількість кружечків у двох сторонах квадрата, причому кутовий кружечок врахований двічі. Тому сторона меншого квадрата дорівнює (13 – 1) : 2 = 6 (кружечків). Тоді менший квадрат складається з 6 • 6 = 36 (кружечків). Оскільки при складанні 5 кружечків були зайвими, то всього було 36+5=41 (кружечок).
Задачі для самостійного розв’язання.
21. Якби Івась купив 6 зошитів, то у нього залишилось би 70 к, а якби він захотів купити 10 зошитів, то йому б не вистачило 50 к. Скільки грошей було в Івася?
22. Солдати вишикувалися в 6 рядів, але три солдати виявилися лишніми. Тоді з кожного ряду по одному солдату стали в сьомий ряд, і тепер уже двох солдатів не вистачало, щоб заповнити останній ряд. Скільки було солдатів?
23. Кілька учнів, бажаючи купити футбольний м’яч, склались по 10 грн., але виявилось, що зібрана сума менша від вартості м’яча на 30 грн. Коли кожний учень додав ще по 2 грн., то вся зібрана сума грошей перевищила вартість м’яча на 14 грн. Скільки було учнів і скільки гривень коштував м'яч?
24. Один чоловік вирішив продати картоплю, щоб на виручені гроші купити дочці магнітофон. Коли він продав 70 кг картоплі, то на магнітофон ще не вистачало 12 грн., а коли він продав 90 кг картоплі, то виявилося, що в нього вже на 6 грн. більше, ніж треба на магнітофон. Скільки гривень коштує магнітофон?
25. Поле треба зорати в установлений строк. Якщо трактор буде орати по 4 га в день, то витратить на 2 дні більше від строку, а якщо він оратиме по 6 га за день то закінчить роботу за 1 день до строку. Яка площа поля і за скільки днів по плану мають його зорати?
Розв'язання задач 21-25
22. Солдати вишикувалися в 6 рядів, але три солдати виявилися лишніми. Тоді з кожного ряду по одному солдату стали в сьомий ряд, і тепер уже двох солдатів не вистачало, щоб заповнити останній ряд. Скільки було солдатів?
23. Кілька учнів, бажаючи купити футбольний м’яч, склались по 10 грн., але виявилось, що зібрана сума менша від вартості м’яча на 30 грн. Коли кожний учень додав ще по 2 грн., то вся зібрана сума грошей перевищила вартість м’яча на 14 грн. Скільки було учнів і скільки гривень коштував м'яч?
24. Один чоловік вирішив продати картоплю, щоб на виручені гроші купити дочці магнітофон. Коли він продав 70 кг картоплі, то на магнітофон ще не вистачало 12 грн., а коли він продав 90 кг картоплі, то виявилося, що в нього вже на 6 грн. більше, ніж треба на магнітофон. Скільки гривень коштує магнітофон?
25. Поле треба зорати в установлений строк. Якщо трактор буде орати по 4 га в день, то витратить на 2 дні більше від строку, а якщо він оратиме по 6 га за день то закінчить роботу за 1 день до строку. Яка площа поля і за скільки днів по плану мають його зорати?
Розв'язання задач 21-25
Заняття 6. Олівці й зошити. (5 клас)
Розглянемо задачу:
Чотири олівці і три зошити коштують 82 к., 2 олівці й 2 зошити – 50 к.. Скільки коштують: а) 8 олівців і 7 зошитів; б) 8 олівців та 4 зошити?
Розв’язання. 1) 82 -50 = 32 (к.) коштують 2 олівці й один зошит;
2) 32 • 4 = 128 (к.) коштують 8 олівців і 4 зошити;
3) 50 • 3 = 150 (к.) коштують 6 олівців і 6 зошитів;
4) 150 + 32 = 182 (к.) коштують 8 олівців і 7 зошитів.
Відповідь: 1грн. 82 к., 1 грн. 28 к..
Чотири олівці і три зошити коштують 82 к., 2 олівці й 2 зошити – 50 к.. Скільки коштують: а) 8 олівців і 7 зошитів; б) 8 олівців та 4 зошити?
Розв’язання. 1) 82 -50 = 32 (к.) коштують 2 олівці й один зошит;
2) 32 • 4 = 128 (к.) коштують 8 олівців і 4 зошити;
3) 50 • 3 = 150 (к.) коштують 6 олівців і 6 зошитів;
4) 150 + 32 = 182 (к.) коштують 8 олівців і 7 зошитів.
Відповідь: 1грн. 82 к., 1 грн. 28 к..
Задачі для самостійного розв’язання.
26. В магазині було 8 пил, а сокир у три рази більше, ніж пил. Одній бригаді продали половину сокир і три пили на суму 84 грн.. Другій бригаді продали решту пил і сокир на суму 100 грн. Скільки коштує 1 пила і 1 сокира?
27. За 6 кг цукерок і 2 кг печива заплатили 50 грн. За 3 кг таких цукерок і 2 кг такого печива заплатили 29 грн. Скільки коштує 1 кг печива і 1 кг цукерок?
28. Скільки кульок треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі одного кубика?
29. Маса 10 слив така сама, як маса 3 яблук і 1 груші. Маса 2 слив і 1 яблука така сама, як маса 1 груші. Скільки слив треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі 1 груші?
30. Учень за 37 копійок купив книжку, зошит, ручку й олівець. Зошит, ручка й олівець коштують разом 19 к. Книжка, ручка й олівець коштують 35 к. Зошит і олівець коштують 5 к. Скільки коштує кожна річ?
27. За 6 кг цукерок і 2 кг печива заплатили 50 грн. За 3 кг таких цукерок і 2 кг такого печива заплатили 29 грн. Скільки коштує 1 кг печива і 1 кг цукерок?
28. Скільки кульок треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі одного кубика?
29. Маса 10 слив така сама, як маса 3 яблук і 1 груші. Маса 2 слив і 1 яблука така сама, як маса 1 груші. Скільки слив треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі 1 груші?
30. Учень за 37 копійок купив книжку, зошит, ручку й олівець. Зошит, ручка й олівець коштують разом 19 к. Книжка, ручка й олівець коштують 35 к. Зошит і олівець коштують 5 к. Скільки коштує кожна річ?
Заняття 1. Відсотки (6 клас)
1. Ціна на товар була підвищена на 20%, а потім двічі знижувалася щоразу на 10%. Як змінилася ціна товару?
Розв’язання.
Після подорожчання ціна становила 100+20=120(%) від початкової ціни. Перший раз ціна знизилася на 120:100*10=12(%) і становила 120-12=108(%) від початкової ціни. Другий раз ціна товару знизилася на 108:100*10=10,8(%) і становила 108-10,8=97,2(%). Таким чином ціна товару знизилася на 100-97,2=2,8(%) від початкової ціни.
2. Якщо від задуманого числа знайти 60%, а потім від одержаного результату знову знайти 60%, то матимемо 180. Знайти задумане число.
Розв’язання. 180:60*100=300 або 180:0,6=300 – одержане число, яке становить 60% від задуманого. 180:60*100=500 – задумане число.
3. У двох бочках води було порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшилась на 10%, а потім збільшилась на 10%, а в другій бочці навпаки – спочатку збільшилася на 10%, а потім зменшилася на 10%. В якій бочці стало більше води?
Розв’язання. В першій бочці після зменшення залишилося 100-10=90(%), а потім кількість води збільшилася на 90:100*10=9(%) і стала 99(%) від початкової кількості. У другій бочці кількість води спочатку збільшилася на 10% і стала 100+10=110(%), а потім зменшилася на 110:100*10=11(%) і стала 110-11=99(%) від початкової кількості. Таким чином, в обох бочках після переливань води залишилося порівну.
4. Бригада викосила ділянку за 2 дні. За перший день викосила 50% ділянки і ще 2 га, а за другий день – 25 % того, що залишилося, і ще 6 га. Знайти площу ділянки.
Розв’язання.
100-25=75(%) від того, що залишилося після першого дня, становлять 6 га. Після першого дня залишилося 6:75*100=8(га). 8-2=6(га) – це 50% від ділянки. Отже, площа ділянки дорівнює 6:50*100=12(га).
5. Поділити число 80 на дві частини так, що одна частина становила 60% від другої частини.
Розв’язання.
Друга частина становить 100%, тоді перша становить 60% від другої, разом вони становлять 100+60=160(%), що відповідає числу 80. Отже, перша частина дорівнює 80:160*60=30, а друга – 80:160*100=50.
6. (МВ) Від двадцятивідсоткового розчину оцтової кислоти відлили 20% розчину і долили чистої води до початкової кількості. Цю процедуру повторили ще раз. Яка концентрація одержаного розчину?
Розв’язання.
Відливши 20% розчину, відлили 20:100*20=4(%) кислоти. Після того, як розчин доповнили чистою водою, його концентрація стала 20-4=16(%). Другий раз відлили 16:100*20=3,2(%) кислоти. Після доповнення водою концентрація розчину становить 16-3,2=12,8(%).
Розв’язання.
Після подорожчання ціна становила 100+20=120(%) від початкової ціни. Перший раз ціна знизилася на 120:100*10=12(%) і становила 120-12=108(%) від початкової ціни. Другий раз ціна товару знизилася на 108:100*10=10,8(%) і становила 108-10,8=97,2(%). Таким чином ціна товару знизилася на 100-97,2=2,8(%) від початкової ціни.
2. Якщо від задуманого числа знайти 60%, а потім від одержаного результату знову знайти 60%, то матимемо 180. Знайти задумане число.
Розв’язання. 180:60*100=300 або 180:0,6=300 – одержане число, яке становить 60% від задуманого. 180:60*100=500 – задумане число.
3. У двох бочках води було порівну. Кількість води в першій бочці спочатку зменшилась на 10%, а потім збільшилась на 10%, а в другій бочці навпаки – спочатку збільшилася на 10%, а потім зменшилася на 10%. В якій бочці стало більше води?
Розв’язання. В першій бочці після зменшення залишилося 100-10=90(%), а потім кількість води збільшилася на 90:100*10=9(%) і стала 99(%) від початкової кількості. У другій бочці кількість води спочатку збільшилася на 10% і стала 100+10=110(%), а потім зменшилася на 110:100*10=11(%) і стала 110-11=99(%) від початкової кількості. Таким чином, в обох бочках після переливань води залишилося порівну.
4. Бригада викосила ділянку за 2 дні. За перший день викосила 50% ділянки і ще 2 га, а за другий день – 25 % того, що залишилося, і ще 6 га. Знайти площу ділянки.
Розв’язання.
100-25=75(%) від того, що залишилося після першого дня, становлять 6 га. Після першого дня залишилося 6:75*100=8(га). 8-2=6(га) – це 50% від ділянки. Отже, площа ділянки дорівнює 6:50*100=12(га).
5. Поділити число 80 на дві частини так, що одна частина становила 60% від другої частини.
Розв’язання.
Друга частина становить 100%, тоді перша становить 60% від другої, разом вони становлять 100+60=160(%), що відповідає числу 80. Отже, перша частина дорівнює 80:160*60=30, а друга – 80:160*100=50.
6. (МВ) Від двадцятивідсоткового розчину оцтової кислоти відлили 20% розчину і долили чистої води до початкової кількості. Цю процедуру повторили ще раз. Яка концентрація одержаного розчину?
Розв’язання.
Відливши 20% розчину, відлили 20:100*20=4(%) кислоти. Після того, як розчин доповнили чистою водою, його концентрація стала 20-4=16(%). Другий раз відлили 16:100*20=3,2(%) кислоти. Після доповнення водою концентрація розчину становить 16-3,2=12,8(%).
Заняття 2. Подільність чисел (6 клас)
Задачі для самостійного розв’язання.
7. До числа 47 зліва і справа дописати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 12.
Розв’язання.
Оскільки 12 ділиться на 4 і 3, то шукане число *47* (зірочка в цьому записі означає цифру) також ділиться на 4 і на 3. За ознакою подільності на 4 остання цифра може дорівнювати 2 або 6 тому що 72 ділиться на 4 і 76 ділиться на 4. Так як шукане число ділиться на3, то сума його цифр ділиться на 3. Якщо остання цифра числа дорівнює 2, то першою може бути 15-(4+7+2)=2, 18-(4+7+2)=5 або 21-(4+7+2)=8; якщо остання цифра дорівнює 6, то першою може бути 18-(4+7+6)=1, 21-(4+7+6)=4 або 24-(4+7+6)=7. Відповідь: 2742, 5742, 8742, 1746, 4746, 7746.
8. Знайти усі дільники числа 225.
8. Знайти усі дільники числа 225.
Розв’язання.
Розкладемо число 225 на прості множники: 3**2*5**2. Дільниками числа 225 являються всі можливі добутки, складені з множників розкладу: 3, 5, 3**2=9, 5**2=25, 3*5=15, 3**2*5=45, 3*5**2=75, 3**2*5**2=225. Відповідь: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.
Примітка: 3**2=3*3, тобто, 3 у другому степені.
9. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.
Примітка: 3**2=3*3, тобто, 3 у другому степені.
9. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.
Розв’язання.
Числа, які діляться на 5, закінчуються цифрою 5 або цифрою 0. Отже, число 3n має закінчуватися цифрою 3 або 8. Так як тільки 3*1 закінчується трійкою і 3*6 закінчується вісімкою, то на останньому місці в числі n може стояти цифра 1 або цифра 6. Це числа 1, 6, 11, 16, 21, 26 і так далі. Таким чином обчислимо перші три числа виду 3n+2, які діляться на 5:
3*1+2=5, 3*6+2=20, 3*11+2=35.
10. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.
3*1+2=5, 3*6+2=20, 3*11+2=35.
10. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.
Розв’язання.
Оскільки 612 є найменшим спільним кратним шуканих чисел, то вони являються дільниками цього числа, причому вони менші від 221. Знайдемо числа, що відповідають названим умовам: 1, 2, 3, 204, 4, 153, 6, 102, 9, 68, 12, 51, 17, 36, 18, 34. Із рівностей 221-204=17, 221-153=68, випливає, що є дві пари дільників, сума яких дорівнює 221: 68 і 153, 17 і 204. Але НСК(17, 204)=204, НСК(68, 153)=612. Відповідь: 68 і 153.
Заняття 3. Подільність чисел (6 клас)
11. Найменше спільне кратне двох чисел, що не діляться одне на одне, дорівнює 90, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 6. Знайдіть ці числа.
Розв’язання.
11. Ці числа являються дільниками числа 90, причому більшими від числа 6: 9, 10, 15, 18, 30, 45. З них виберемо кратні числу 6: 18 і 30. Оскільки вони не діляться одне на одне, то це і є шукані числа.
12. Декілька тракторів можуть виорати поле площею 300 га за ціле число днів, зорюючи щодня по 15 га. Скільки тракторів треба для того, щоб виконати роботу на 6 днів раніше?
Розв’язання.
12. Кількість днів, протягом яких трактори виорюють поле, виражається дільником числа 300:15=20. 20 має такі дільники:1, 2, 4, 5, 10, 20. Серед них тільки 4 на 6 менше від 10. Це означає, що поле можуть виорати за 10 днів 20:10=2 трактори. Щоб виконати роботу на 6 днів швидше, потрібно 20:4=5 тракторів.
13. Скільки є чотирицифрових чисел, які діляться на 90, а дві середні цифри в них дорівнюють 57?
Розв’язання.
13. Оскільки 90 ділиться на 10, то остання цифра шуканого числа дорівнює 0. 90 ділиться на 9, тому сума цифр шуканого числа ділиться на 9: 18-(5+7+0)=6. Отже, тільки число 6570 задовольняє умову задачі.
14. Чи ділиться добуток натуральних чисел від 1 до 20 на 243?
Розв’язання.
14. Оскільки 243=7*7*7, а розклад на прості множники добутку чисел від 1 до 20 містить тільки дві сімки, то він не ділиться на 243.
15. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 75, а дві перші цифри в них дорівнюють 57?
Розв’язання.
15. Число 75 ділиться на 25, тому й шукане число ділиться на 25. Це означає, що воно може закінчуватися на 00, 25, 50 або 75. Так як 75 ділиться на3, то й шукані числа діляться на 3: для кожного випадку таких чисел є три. Всіх чисел, що відповідають умові задачі є 4*3=12.
Розв’язання.
11. Ці числа являються дільниками числа 90, причому більшими від числа 6: 9, 10, 15, 18, 30, 45. З них виберемо кратні числу 6: 18 і 30. Оскільки вони не діляться одне на одне, то це і є шукані числа.
12. Декілька тракторів можуть виорати поле площею 300 га за ціле число днів, зорюючи щодня по 15 га. Скільки тракторів треба для того, щоб виконати роботу на 6 днів раніше?
Розв’язання.
12. Кількість днів, протягом яких трактори виорюють поле, виражається дільником числа 300:15=20. 20 має такі дільники:1, 2, 4, 5, 10, 20. Серед них тільки 4 на 6 менше від 10. Це означає, що поле можуть виорати за 10 днів 20:10=2 трактори. Щоб виконати роботу на 6 днів швидше, потрібно 20:4=5 тракторів.
13. Скільки є чотирицифрових чисел, які діляться на 90, а дві середні цифри в них дорівнюють 57?
Розв’язання.
13. Оскільки 90 ділиться на 10, то остання цифра шуканого числа дорівнює 0. 90 ділиться на 9, тому сума цифр шуканого числа ділиться на 9: 18-(5+7+0)=6. Отже, тільки число 6570 задовольняє умову задачі.
14. Чи ділиться добуток натуральних чисел від 1 до 20 на 243?
Розв’язання.
14. Оскільки 243=7*7*7, а розклад на прості множники добутку чисел від 1 до 20 містить тільки дві сімки, то він не ділиться на 243.
15. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 75, а дві перші цифри в них дорівнюють 57?
Розв’язання.
15. Число 75 ділиться на 25, тому й шукане число ділиться на 25. Це означає, що воно може закінчуватися на 00, 25, 50 або 75. Так як 75 ділиться на3, то й шукані числа діляться на 3: для кожного випадку таких чисел є три. Всіх чисел, що відповідають умові задачі є 4*3=12.
Заняття 4. Подільність чисел (6 клас)
16. Знайти таке двозначне число, яке при діленні на суму його цифр дає число, яке дорівнює його дільнику. Знайти це число.
Розв’язання.
Оскільки дільник і частка рівні між собою, то шукане число є точним квадратом – це 16, 25, 36, 49, 64, або 81. Отже, в частці може бути число 4, 5, 6, 7, 8 або 9. Перевіримо кожен точний квадрат 1+6=7, 2+5=7, 3+6=9, 4+9=13, 6+4=10, 8+1=9. Умову задачі задовольняє тільки число 81.
17. Знайдіть усі числа внаслідок ділення яких на 7 у частці буде те саме число, що і в остачі.
Розв’язання.
Будь-яке число можна записати у виді: х=7n+n, де n може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Оскільки 7n+n=8n. Отже, шукане число дорівнює 0, 8, 16, 24, 32, 40 і 48.
18. У результаті ділення на 2 число дає в остачі 1, при діленні на 3 – остачу 2. Яку остачу дає число при діленні на 6?
Розв’язання.
Оскільки при діленні на 2 число дає остачу 1, то воно непарне. Так як число при діленні на 3 дає остачу 2, то його можна записати за допомогою формули 3n+2, де n може приймати значення 0, 1, 2, 3 і так далі. Якщо n – парне, то 3n+2 також парне й не задовольняє першу умову. При непарному n число 3n+2 також непарне. Отже, числа 5, 11, 17 і так далі при діленні на 2 дає остачу 1, при діленні на 3 - остачу 2, а при діленні на 6 - остачу 5.
19. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі число 1.
Розв’язання.
Якщо зменшити число на одиницю, то воно стане кратним числам 2, 3, 4, 5 і 6. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 60, отже шукане число – 61.
20. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3 без остачі.
Розв’язання.
Будь-яке натуральне число при діленні на три дає в остачі 0, 1 або 2. Розподілимо всі натуральні числа в три групи по остачі, яку вони дають при діленні на три: позначимо їх І0, І1, І2. Оскільки множники являються трьома послідовними числами, то одне з них потрапляє в групу І0, тобто ділиться на 3, а отже, й добуток цих чисел ділиться на три.
Розв’язання.
Оскільки дільник і частка рівні між собою, то шукане число є точним квадратом – це 16, 25, 36, 49, 64, або 81. Отже, в частці може бути число 4, 5, 6, 7, 8 або 9. Перевіримо кожен точний квадрат 1+6=7, 2+5=7, 3+6=9, 4+9=13, 6+4=10, 8+1=9. Умову задачі задовольняє тільки число 81.
17. Знайдіть усі числа внаслідок ділення яких на 7 у частці буде те саме число, що і в остачі.
Розв’язання.
Будь-яке число можна записати у виді: х=7n+n, де n може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Оскільки 7n+n=8n. Отже, шукане число дорівнює 0, 8, 16, 24, 32, 40 і 48.
18. У результаті ділення на 2 число дає в остачі 1, при діленні на 3 – остачу 2. Яку остачу дає число при діленні на 6?
Розв’язання.
Оскільки при діленні на 2 число дає остачу 1, то воно непарне. Так як число при діленні на 3 дає остачу 2, то його можна записати за допомогою формули 3n+2, де n може приймати значення 0, 1, 2, 3 і так далі. Якщо n – парне, то 3n+2 також парне й не задовольняє першу умову. При непарному n число 3n+2 також непарне. Отже, числа 5, 11, 17 і так далі при діленні на 2 дає остачу 1, при діленні на 3 - остачу 2, а при діленні на 6 - остачу 5.
19. Знайти найменше натуральне число, яке при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6 дає в остачі число 1.
Розв’язання.
Якщо зменшити число на одиницю, то воно стане кратним числам 2, 3, 4, 5 і 6. Найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 60, отже шукане число – 61.
20. Довести, що добуток трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3 без остачі.
Розв’язання.
Будь-яке натуральне число при діленні на три дає в остачі 0, 1 або 2. Розподілимо всі натуральні числа в три групи по остачі, яку вони дають при діленні на три: позначимо їх І0, І1, І2. Оскільки множники являються трьома послідовними числами, то одне з них потрапляє в групу І0, тобто ділиться на 3, а отже, й добуток цих чисел ділиться на три.
Заняття 5. Комбінаторні задачі (6 клас)
21. Скільки є чотирицифрових чисел виду А=6*6*, які діляться на 8?
Розв’язання.
Оскільки число А ділиться на 8, то воно ділиться на 4. За ознакою подільності на 4 число 6* ділиться на 4 – це числа 60, 64 і 68. В кожному десятку одно або два числа, кратних числу 8. Якщо на місці сотень стоїть парна цифра, то з трьох чисел *60, *64, *68 тільки друге кратне числу 8. Якщо на місці сотень стоїть непарна цифра, то числа *60 і *68 кратні числу 8. Отже, на 8 діляться 5*1+5*2=15 чисел виду 6*6*.
22. Скількома способами монету в 25 копійок можна розміняти монетами достоїнством 10, 5 і 2 копійки?
Розв’язання.
10+10+5= 10+5+5+5= 5+5+5+5+5= 10+5+2+2+2+2+2= 5+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
Відповідь: 5 способів
23. Скільки є двозначних чисел, у яких серед цифр є хоча б одна п’ятірка.
Розв’язання.
Двозначне число може містити цифру 5 на першому чи на другому місці. Двозначні числа складають 9 десятків. У кожному десятку є одне число з цифрою 5, у числах від 50 до 59 на першому місці стоїть цифра 5 – таких чисел 10. Оскільки число 55 врахована двічі, то всіх чисел 18.
24. Скільки серед натуральних чисел від 10 до 1000 таких, сума цифр яких дорівнює 9?
Розв’язання.
Числа, сума цифр яких дорівнює 9, діляться на 9. В кожній сотні 11 чисел, кратних 9. З першої сотні відкинемо 9 і 99, тому умову задовольняють тільки 9 чисел. З другої сотні відкидаємо числа 189 і 198 – залишаються 9. З третьої сотні треба виключити 3 числа – 279, 288, 297 – залишаються 8. З четвертої сотні виключаємо 4 числа – залишаються 7 і т. д. В дев’ятій сотні всього одне таке число. Таким чином, усіх чисел 9+9+8+7+…+1=54 числа.
25. Знайти натуральне число, яке в сім разів більше від цифри його одиниць.
Розв’язання.
Шукане число має вид 10b+c=7c. Оскільки с – цифра, то вона може приймати значення від 1 до 9. Проста перевірка цих дев’яти варіантів показує, що існує єдине таке число 35.
Розв’язання.
Оскільки число А ділиться на 8, то воно ділиться на 4. За ознакою подільності на 4 число 6* ділиться на 4 – це числа 60, 64 і 68. В кожному десятку одно або два числа, кратних числу 8. Якщо на місці сотень стоїть парна цифра, то з трьох чисел *60, *64, *68 тільки друге кратне числу 8. Якщо на місці сотень стоїть непарна цифра, то числа *60 і *68 кратні числу 8. Отже, на 8 діляться 5*1+5*2=15 чисел виду 6*6*.
22. Скількома способами монету в 25 копійок можна розміняти монетами достоїнством 10, 5 і 2 копійки?
Розв’язання.
10+10+5= 10+5+5+5= 5+5+5+5+5= 10+5+2+2+2+2+2= 5+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2
Відповідь: 5 способів
23. Скільки є двозначних чисел, у яких серед цифр є хоча б одна п’ятірка.
Розв’язання.
Двозначне число може містити цифру 5 на першому чи на другому місці. Двозначні числа складають 9 десятків. У кожному десятку є одне число з цифрою 5, у числах від 50 до 59 на першому місці стоїть цифра 5 – таких чисел 10. Оскільки число 55 врахована двічі, то всіх чисел 18.
24. Скільки серед натуральних чисел від 10 до 1000 таких, сума цифр яких дорівнює 9?
Розв’язання.
Числа, сума цифр яких дорівнює 9, діляться на 9. В кожній сотні 11 чисел, кратних 9. З першої сотні відкинемо 9 і 99, тому умову задовольняють тільки 9 чисел. З другої сотні відкидаємо числа 189 і 198 – залишаються 9. З третьої сотні треба виключити 3 числа – 279, 288, 297 – залишаються 8. З четвертої сотні виключаємо 4 числа – залишаються 7 і т. д. В дев’ятій сотні всього одне таке число. Таким чином, усіх чисел 9+9+8+7+…+1=54 числа.
25. Знайти натуральне число, яке в сім разів більше від цифри його одиниць.
Розв’язання.
Шукане число має вид 10b+c=7c. Оскільки с – цифра, то вона може приймати значення від 1 до 9. Проста перевірка цих дев’яти варіантів показує, що існує єдине таке число 35.
Другий етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики (Дніпропетровська область) – 2012 рік.
6 клас
- Місце для купання в морі обмежують буйки, розташовані по прямій так, що відстань між будь-якими сусідніми буйками однакова і дорівнює 12 м. Знайти відстань між третім та сьомим буйками.
- Знайдіть усі натуральні числа x, що не перевищують З0, такі, що НСД(х,4) • НСД(х,З0) = 1. Відповідь поясніть.
- Кожен учень деякого класу вивчає або англійську, або німецьку мови. Усього в класі 25 учнів, англійську вивчають 21, німецьку 10. Відомо, що п’ята частина тих учнів школи, які одночасно вивчають англійську та німецьку складають саме учні цього класу. Скільки учнів у школі вивчають англійську та німецьку мови?
- Знайдіть усі способи подати число 34 у вигляді двох натуральних доданків, добуток яких дорівнює 93.
- Михайлик та Тарасик грають у дивну гру. На кожному кроці від числа, яке раніше утворилося в результаті гри віднімається один з його дільників. Програє той, після ходу якого утвориться число 0. Гру починає Михайлик з числа 2012. Хто з гравців може грати так, щоби не зважаючи на те, як ходить другий гравець завжди вигравати?
На виконання завдань відводиться З години
7 клас
- Кожен учень деякого класу вивчає або англійську, або німецьку мови. Усього в класі 25 учнів, англійську вивчають 21, німецьку 10. Відомо, що 15% тих учнів школи, які одночасно вивчають англійську та німецьку складають саме учні цього класу. Скільки учнів у школі вивчають англійську та німецьку мови?
- Середнє арифметичне деяких 10 чисел дорівнює 14. Якщо чотири з них видалити з даного набору, то середнє арифметичне тих чисел, що залишаться дорівнює 11. Чому дорівнює середнє арифметичне видалених чисел?
- В координатній площині задано точки А(2,1); 5(5,7); С(7,4). Знайти площу трикутника АВС.
- Михайлик та Тарасик грають у дивну гру. На кожному кроці від числа, яке раніше утворилося в результаті гри віднімається один з його дільників. Програє той, після ходу якого утвориться число 0. Гру починає Михайлик з числа 2012. Хто з гравців може грати так, щоби не зважаючи на те, як ходить другий гравець завжди вигравати?
- 20 % родин міста X, які мають кішок (хоча б одну кішку), також мають і собак (хоча б одного собаку). 25% родин цього міста, що мають собак, також мають і кішок. 20% не мають ані кішок, ані собак. Знайти відсоток мешканців міста, що мають, як кішок, так і собак. Відповідь обґрунтуйте.
На виконання завдань відводиться З години
Все
про число 2016
=4064256
1. Чи ділиться число 72016 – 2016 на 5 ?
2. Довести, що число 92016- 1 не ділиться на
100.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
09
81
29
61
49
41
69
21
89
01
09
Оскільки 911 закінчується тими самими
цифрами, що й 91, то надалі піднесення дев’ятки до степеня ця
послідовність буде періодично повторюватися з періодом 10. Отже, останні дві
цифри числа 92016 такі самі,
як і в числа 96, тобто 41, а число 92016- 1 закінчується
на 40, тобто одним нулем.
3. Яке найбільше від’ємне число можна отримати
шляхом розстановки знаків «+» і «-» між числами 1; 2; 3; 4; …; 2014; 2015; 2016
?
4. Знайти всі корені
рівняння: | х – 2015 | = 2016.
5. Який кут утворюють
стрілки годинника о 16 годині 20 хвилин?
частину кола
6. Довести, що число
201615 + 2 не є квадратом іншого натурального числа.
7. Знайти останню цифру
числа 1620 – 2016.
8. Знайти дві останні
цифри суми 20! + 16!.
9. Знайти останню
цифру в десятковому записі числа S = 20162015 + 20162016.
10. В пробірці є 2015
червоних амеб, 2016 синіх амеб і 2017 зелених амеб. Дві амеби різних кольорів
можуть зливатися в одну амебу третього кольору. Після декількох зливань в
пробірці залишилась одна амеба. Якого вона кольору?
11. Маємо 2016
сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників.
Грають двоє. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців – перший
чи другий, може забезпечити собі виграш?
12. Двоє гравців
грають таку гру: на столі лежить коробка сірників і вони по черзі беруть звідти
сірники. За один хід дозволяється взяти від одного до десяти сірників. Виграє
той, хто забере останній сірник. Хто виграє: той,хто починає гру чи його
суперник, якщо в коробці 2016 сірників?
13. В трьох купках
лежать предмети, по 2016 предметів у кожній. За 1 хід дозволяється взяти
довільне число предметів, але тільки з однієї купки. Програє гравець, який не
може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі?
14. Числа 22016
і 52016 записані одне за одним і утворюють нове число. Скільки цифр
при цьому було використано?
15. Визначити дві останні цифри числа 22016.
.
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
09
|
81
|
29
|
61
|
49
|
41
|
69
|
21
|
89
|
01
|
09
|
